Allora, c’è un posto in cui ci si può occupare di Matematica, Giochi Matematici, Problemi, Indovinelli e Farneticazioni. Questo post piace molto ad husband. Il sito è http://www.rudimathematici.com/. C’è anche una Rivista omonima, una e-zine, che si chiama “Rudi Mathematici”, distribuita gratuitamente a chiunque sia abbastanza imprudente da richiederla, in formato pdf, ed esce una volta al mese.

Premesso ciò, ora voi andate qui sul numero di febbraio 2009, testè uscito.

http://www.rudimathematici.com/archivio/121.pdf a pagina 20 a legger la soluzione di un problema del numero di gennaio.

Non è importante che capiate di cosa si parli e/o il procedimento. Sappiate solo che è corretto 🙂 e che il solutore del problema in questione è qualcuno di mia conoscenza.

Quindi con orgoglio di moglie lo riposto anche qui.

4.1.2 (Quasi) Il compleanno di Fred
Riassumiamo anche qui il problema:
Le solite n pesti hanno una maglietta numerata da 1 a n. Disporle intorno ad un tavolo rotondo per massimizzare il numero totale di pasticcini da dividersi, sapendo che è calcolato come somma di tutti i prodotti del numero di maglietta di ogni peste con quello della sua peste di sinistra. Si sa inoltre che la soluzione permette ai teppisti di avere lo steso numero (intero) a testa. Qual è il numero dei pasticcini e delle pesti?

Con, per buona misura, una seconda parte

Come si dovrebbero disporre le stesse pesti per ottenere con le stesse regole il numero minore possibile di tartine al cavolfiore? 

Tra le soluzioni ricevute, quelle di Husband, Millenium Bug e altri. Come sapete ci piace lasciar spazio ai nuovi solutori, e per questo per primo pubblichiamo la soluzione di Husband, anche perché ha dato una buona giustificazione al suo soprannome:
Mia moglie dice che è inutile provarci e che non c’è soluzione equa al problema: ci sarà sempre chi piangerà per il proprio numero di maglia e vorrà cambiarlo, ci sarà sempre il bulletto che picchierà il vicino per rubargli i suoi (parte o tutti) pasticcini o per rifilargli le tartine, ecc. ecc. ecc.
Le ho detto: “Facciamo finta che i bambini siano dei bambolotti silenziosi e che tocca a noi sistemarli.”Mi ha detto che andava bene e che solo in questa ipotesi potevo provarci. Beh, ci è sembrato giusto. Vediamo la soluzione della prima parte.

Quale che sia il numero di partecipanti l’idea base è quella che di tenere vicini i numeri più alti in modo da sfruttare al massimo il loro effetto nelle moltiplicazioni.

E così n sarà seduto tra n–1 ed n–2. Poi n–3 si siederà vicino ad n–1 e n–4 vicino ad n–2, e così via tutti i numeri in ordine decrescente verranno disposti uno a destra ed uno a sinistra di n fino ad arrivare a 1 (vedi figura)

Con questa disposizione, quale che sia il valore di n, si ottengono il massimo dei pasticcini. Ovviamente il risultato è equivalente se l’ordine dei numeri è orario o antiorario. Adesso bisogna individuare il numero n che mi permette di ottenere un numero di pasticcini la cui divisione per n non dia alcun resto
Il problema non prevede un numero minimo di bambini, ma mi sembra opportuno trascurare il numero 2 (per il quale avrei 2 bambini e 4 pasticcini totali con 2 pasticcini per ciascun bambino), che a rigore rappresenterebbe una soluzione del problema e andare avanti.

Per comodità ed evitare di fare molti disegni indicherò le posizioni con un elenco in cui il primo elemento coincide con l’ultimo, tale da avere una rappresentazione del tavolo.

Indico con n il numero di bambini e con np il numero di pasticcini.